Intégration sur un segment et modélisation
Cadre du projet :
Le but est de construire un cours théorique de mathématiques qui sera soutenu par de la modélisation numérique à l'aide de Python.
Cliquer sur ce lien https://git.easter-eggs.org/Brugilo/stage_ee_2024pour voir la racine de mon projet.
Introduction
En analyse l'intégrale est utilisée pour calculer l'aire sous une courbe ou bien calculer une primitive d'une fonction.
Dans ce cours nous nous intéressons uniquement à la notion d'aire sous une courbe.
\(a\) et \(b\) désigneront deux réels et on supposera également \(a < b\).
Enfin on notera \( \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}) \) l'ensemble des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\) définies sur \([a,b]\)
1) Fonction en escalier
I/Définitions
Définition 1.1 : (Subdivision)
Soient \(n\in\mathbb{N}^*\) et \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\in\mathbb{R}^{n+1} \).
On dit que \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) est une subdivision de \([a,b]\) si \( a = a_0 < a_1 < \cdots < a_n = b \).
Image ! OK
Définition 1.2 : (Fonction en escalier)
On dit que \(f\) est une fonction en escalier s'il existe une subdivision \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) de \([a,b]\) telle que pour tout \(i\in[\![0,n-1]\!], f_{|]a_{i},a_{i+1}[}\) soit une fonction constante.
On note \(\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) l'ensemble des fonctions en escaliers définies sur \([a,b]\) et à valeurs réelles.
Première modélisation de fonction en escalier ! Ok
Définition 1.3 : (Subdivision adaptée)
Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\) et soit \((a_i)_{i\in[\![,0,n]\!]}\) une subdivision de \([a,b]\).
On dit que cette subdivision est adaptée à \(f\) si : pour tout \(i\in[\![0,n-1]\!], f_{|]a_i,a_{i+1}[}\) est une fonction constante.
Image Explicative
Définition 1.4 : (Subdivision fine et grossière)
Soient \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) et \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) deux subdivisions de \([a,b]\).
On dit que \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) est plus fine que \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) si \(\{b_i|i\in[\![0,p]\!]\}\subset\{a_i|i\in[\![0,n]\!]\}\).
On dit alors que \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) est plus grossière que \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\).
Image ! OK
Porposition 1.1
Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}) \).
Il existe une unique subdivision de \([a,b]\) adaptée à \(f\) et plus grossière que toutes les subdivisons adaptées à \(f\) : celle contenant les points de discontinuités de \(f\) ainsi que les extrémités.
II/Intégration des fonctions en escalier
Définition 1.5 : (Intégration des fonctions en escalier)
Soit \(f\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\).
On considère \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) la subdivision adaptée à \(f\) la plus grossière.
On définit l'intégrale de \(f\) sur le segment \([a,b]\), que l'on note \(\int_{[a,b]}f\), comme étant la quantité : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})f(\frac{a_{i-1}+a_{i}}{2})\)
TE + modélisation ! Ok il manque juste le TE (bulle ?)
Test de TE
Proposition 1.2
Soient \(f\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) et \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) une subdivision adaptée à \(f\).
On cosidère \((c_i)_{i\in[\![1,n]\!]}\) une famille de réels telle que : \(\forall i\in[\![1,n]\!], c_i\in]a_{i-1},a_i[\).
On a alors : \(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})f(c_i)\)
Proposition 1.3 :
L'intégrale ainsi définie vérifie plusieurs propriétés.
Considérons \((f,g)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\), alors l'intégrale est :
\(\bullet\) linéaire, à savoir : \(\int_{[a,b]}(\lambda f+g)=\lambda\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g\)
\(\bullet\) positive, à savoir : \(f\geq0\implies\int_{[a,b]}f\geq0\)
\(\bullet\) croissante, à savoir : \(f\leq g\implies \int_{[a,b]}f\leq\int_{[a,b]}g\)
TE notamment pour la positivité et la négativité des intégrales : lien avec le fait qu'au lycée on puisse avoir des intégrales à valeurs négatives (pas forcément intuitif)
Proposition 1.4 : (Relation de Chasles)
Soient \(f\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) et \(c\in]a,b[\), on a : \(\int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f\)
Modélisation ! Ok
2) Fonctions continues par morceaux
I/Définitions et propriétés générales
Définition 2.1 : (Fonction continue par morceaux)
Soit \(f\in\mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\).
On dit que \(f\) est continue par morceaux s'il existe une subdivision \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) telle que :
Pour tout \(i\in[\![1,n]\!], f\) est continue sur \(]a_{i-1},a_i[\) et admet une limite finie à droite en \(a_{i-1}\) et à gauche en \(a_i\).
On note \(\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\) l'ensemble des fonctions continues par morceaux à valeurs réelles définies sur \([a,b]\).
Modélisation ! Ok
Remarque 2.1 :
On peut reformuler cette condition en disant que pour tout \(i\in[\![1,n]\!], f_{|]a_{i-1},a_i[}\) est prologeable par continuité sur \([a_{i-1},a_i]\).
Définition 2.2 : (Subdivision adaptée)
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\) et \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) une subdivision de \([a,b]\).
On dit que la subdivision \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) est adaptée à \(f\) si pour tout \(i\in[\![1,n]\!]\) :
\(f\) est continue sur \(]a_{i-1},a_i[\) et admet une limite finie à droite en \(a_{i-1}\) et à gauche en \(a_i\).
Définition 2.3 : (Norme infinie)
On définit la norme infinie (on admet même si ça se démontre facilement, qu'il s'agit bien d'une norme), notée \(||.||_{\infty}\), d'une fonction \(f\in\mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\) bornée comme étant la quantité : \(||f||_{\infty}=\sup\{|f(x)|,x\in[a,b]\}\).
Proposition 2.1 :
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\) et \(\varepsilon>0\).
Il existe \(\varphi\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) telle que \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Modélisation de cette propriété et si possible, en donnant notre fonction \(f\), recracher une fonction en escalier correspondant. Ok pour la mdéolisation !
Corollaire 2..1 :
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\) et \(\varepsilon>0\).
Il existe \((\varphi,\psi)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) tel que : \(\varphi\leq f\leq\psi\) et \(||\varphi-\psi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Modélisation ! Ok
Définition 2.4 : (Convergence uniforme)
Soit \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de fonctions sur \([a,b]\).
On dit que \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) convegre uniformément vers \(f\) si \(\lim\limits_{n \to \infty}||f-f_n||_{\infty}=0\).
Corollaire 2..2 :
Tout élément de \(\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\) est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
Définition 2.5 : (Intégrabilité des fonctions)
Soit \(f\in\mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\) que l'on suppose bornée. On définit :
\(\bullet \quad I^+=\inf\{\int_{[a,b]}g | g\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R}) \text{ et } f\leq g\}\)
\(\bullet \quad I^-=\sup\{\int_{[a,b]}g | g\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R}) \text{ et } g\leq f\}\)
On dit que \(f\) est intégrable (au sens de Riemann) si \(I^+=I^-\).
Si c'est le cas, on définit l'intégrale de \(f\) comme étant cette valeur commune et on la note \(\int_{[a,b]}f\).
II/Intégration des fonctions continues par morceaux et propriétés
Proposition 2.2
Soit \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\)
Alors \(f\) est intégrable au sens de Riemann.
TE introduisant le calcul infinitésimale d'aires de rectangles infinitésimaux ! + Modélisation avec rectangles et corolaire précédent !
Lemme 2...1
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R}), g\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R}) \text{ et } \varepsilon>0\).
On suppose que \(||f-g||_{\infty}\leq\varepsilon\).
On a alors : \(|\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}g|\leq(b-a)\varepsilon\).
Proposition 2.3
Sous ces notations et si \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers \(f\) , alors \(\lim\limits_{n \to \infty}\int_{[a,b]}f_n=\int_{[a,b]}f\).
(Si possible mettre en place une mdéolisation mais compliqué de jouer avec des limites)
Proposition 2.4
L'intégrale sur les fonctions continues par morceaux vérifie les mêmes propriétés que l'intégrale des fonctions en escalier.
À savoir, pour \((f,g)\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})^2\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\), alors l'intégrale est :
\(\bullet\) linéaire, à savoir : \(\int_{[a,b]}(\lambda f+g)=\lambda\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g\)
\(\bullet\) positive, à savoir : \(f\geq0\implies\int_{[a,b]}f\geq0\)
\(\bullet\) croissante, à savoir : \(f\leq g\implies \int_{[a,b]}f\leq\int_{[a,b]}g\)
Modélisation !
Proposition 2.5 :
Soit \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\). Soient \((m,M)\in\mathbb{R}^2\).
On a : \(m\leq f\leq M\implies(b-a)m\leq\int_{[a,b]}f\leq(b-a)M\).
Modelistion ! Ok
Proposition 2.6 :
Sous les mêmes notations on a : \(|\int_{[a,b]}f|\leq(b-a)||f||_{\infty} \text{ et } |\int_{[a,b]}f|\leq\int_{[a,b]}|f|\).
Proposition 2.7 : (Relation de Chasles)
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R}) \text{ et } c\in]a,b[\).
On a : \(\int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f\).
Modélisation ! Ok
Proposition 2.8
Soit \(f\in\mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})\). On suppose que \(f\) ne change pas de signe.
Alors : \(\int_{[a,b]}f=0\implies f=0\).