Demo 1.1

Soient \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\text{ et }(b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) deux subdivisons adaptées à \(f\) qui sont toutes les deux plus grossière que toute autre subdivision adaptée à \(f\).
Par définition \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) est plus grossière que \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) et inversement.
Donc \(n=p\text{ et : }\forall i\in[\![0,n]\!], a_i=b_i\).
On a donc bien l'unicité annoncée.
Pour l'existence il suffit de remarquer que la subdivion qui comporte tous les points de discontinuitées de \(f\) ainsi que les bornes de l'intervalle vérifie les conditions de la propriété.

Demo 1.2

Notons \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) l'unique subdivions adaptée de \(f\) la plus grossière de toutes les autres subdivisions adaptées de \(f\).
Par définition on a : \(\{b_i|i\in[\![0,p]\!]\}\subset\{a_i|i\in[\![0,n]\!]\}\).
On définit une suite strictement croissante \((k_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) d'entiers telle que : \(\forall i\in[\![0,p]\!], b_i=a_{k_i}\) de sorte que : \([b_i,b_{i+1}]=[a_{k_i},a_{k_{i+1}}]=\cup_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}[a_{k_i+j},a_{k_i+j+1}]\text{ \color{red}{(*)} }\)
Ainsi, par définition de \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) on sait que sur chaque intervalle \(]b_i,b_{i+1}[, f\) est constante donc finalement on a :

\(\int_{[a,b]f}=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}(b_{i+1}-b_i)f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\underbrace{\left(\displaystyle\sum_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}(a_{k_i+j+1}-a_{k_i+j})\right)}_{=b_{i+1}-b_i}f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\displaystyle\sum_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}(a_{k_i+j+1}-a_{k_i+j})\underbrace{f(\frac{a_{k_i+j+1}+a_{k_i+j}}{2})}_{=f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})\text{ par \color{red}{(*)}}}\)
Donc :
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}(b_{i+1}-b_i)f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\displaystyle\sum_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}(a_{k_i+j+1}-a_{k_i+j})f(c_{k_i+j+1})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})f(c_i), \text{ car : }[\![0,n]\!]=\cup_{i=0}^{p-1}[\![k_i,k_{i+1}]\!]\)
Donc finalement \(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})f(c_i)\).

Demo 1.3 :

\(\bullet\) Notons \((a_k)_{k\in[\![0,n]\!]}\) l'unique subdivion adaptée à \(f\) plus grossière que toute autre subdivion adaptée à \(f\). Notons de même \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) pour \(g\).
Alors en rangeant par ordre croissant ces deux suites et en enlevant les doublons (par exemple \(b_0\text{ et }b_p\)), on obtient une subdivision adaptée à \(f\text{ et }g\) donc a \(\lambda f+g\).
On note \((c_i)_{i\in[\![0,q]\!]}\) cette nouvelle subdivison.
On a ainsi : \(\int_{[a,b]}\lambda f+g=\displaystyle\sum_{i=1}^{q}(c_i-c_{i-1})(\lambda f+g)(\alpha_i)=\lambda\displaystyle\sum_{i=1}^{q}(c_i-c_{i-1})f(\alpha_i)+\displaystyle\sum_{i=1}^{q}(c_i-c_{i-1})g(\alpha_i)=\lambda\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g\).
\(\bullet\) On considère \((a_k)_{k\in[\![0,n]\!]}\text{ et } (c_i)_{i\in[\![1,n]\!]}\) définis comme à la Proposition 1.2. On a alors :
\(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\underbrace{(a_i-a_{i-1})}_{\geq0}\underbrace{f(c_i)}_{\geq0}\implies\int_{[a,b]}f\geq0\).
\(\bullet\) Il suffit d'appliquer les deux points précédents à \(g-f\) qui est positive.

Demo 1.4 :

On considère \((a_k)_{k\in[\![0,n]\!]}\text{ et } (c_i)_{i\in[\![1,n]\!]}\) définis comme à la Proposition 1.2. On considère alors \(i\in[\![1,n]\!]\text{ tel que }c\in[a_{i-1},a_i]\).
On a alors : \(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(a_j-a_{j-1})f(c_j)=\underbrace{\displaystyle\sum_{j=1}^{i-1}(a_j-a_{j-1})f(c_j)+(c-a_{i-1})f(\frac{c+a_{i-1}}{2})}_{=\int_{[a,c]}f}+\underbrace{(a_i-c)f(\frac{a_i+c}{2})+\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}(a_j-a_{j-1})f(c_j)}_{=\int{[c,b]}f}\).

Demo 2.1 :

On donne deux types de démonstration :
- Une qui nécessite le Théorème de Heine
- Une qui ne l'utilise pas

On va donner la preuve sans l'utilisation du Théorème de Heine car elle donne l'idée d'approche à avoir pour implémenter la modélisation de cette propiété.
On va alors construire par récurrence notre fonction en escalier et pour cela on va devoir définir une seconde subdivision de \([a,b]\).
On note \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) l'unique subdivision adaptée à \(f\) et plus grossière que toutes les subdivisions adaptées.

\(\textbf{Initailisation : }\) On pose \(b_0=a_0\) et \(\varphi_0=\lim\limits_{x\to a_0^+}f(x)\).
On considère ensuite \(g : ]a_0,a_1[\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto\varepsilon-|f(x)-\varphi_0|\) qui est coninue.
Au voisinage droite de \(a_0, g\) est strictement positive :
- Si sur \(]a_0,a_1[, g\) est strictement positive alors on pose \(b_1=a_1\).
- Sinon on pose \(b_1=\min\{g^{-1}(0)\}\) où ce min existe bien par continuité de \(g\).

\(\textbf{Hérédité : }\) Supposons avoir construit \((b_i)_{i\in[\![0,k]\!]}\text{ et } (\varphi_i)_{i\in[\![0,k-1]\!]}\).
Si \(b_k=a_n\) dans ce cas il n'y a plus rien à faire.
Sinon on sait qu'il existe \(i\in[\![0,n-1]\!]\) tel que : \(b_k\in[a_i,a_{i+1}[\).
Posons alors \(\varphi_k=\lim\limits_{x \to b_k^+}f(x)\) et \(g : ]b_k,a_{i+1}[\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto \varepsilon-|f(x)-\varphi_k|\) qui est continue.
Au voisinage droite de \(b_k\) on a \(g>0\) :
- Si sur \(]b_k,a_{i+1}[, g\) est strictement positive alors on pose \(b_{k+1}=a_{i+1}\)
- Sinon on pose \(b_{k+1}=\min\{g^{-1}(0)\}\)
Ainsi on achève la récurrence mais encore faut-il s'assurer que la suite \((b_i)\) soit finie pour qu'on puisse parler de subdivision de \([a,b]\) (si elle est finie alors en noatnt \(p\) le nombre d'éléments qui la compose on a directement \(b_p=a_n\) par construction).

Supposons par l'absurde que la suite \((b_i)\) ne soit pas finie et donc pour tout \(i\in\mathbb{N}, b_i\ne a_n\), la suite \((b_i)\) étant strictement croissante et bornée on sait qu'elle admet une limite \(c\in]a,b]\). On va alors montrer que ce \(c\) ne peut exister.
- \(\textit{Si \(c\) n'est pas un point de la subdivision \((a_i)\) : }\)
Il existe alors \(i\in[\![1,n]\!]\) tel que \(c\in]a_{i-1},a_i[\) ainsi que \(N\in\mathbb{N}\) tel que : \(\forall n\geq N,b_n\in]a_{i-1},c[\text{ et }|f(b_n)-f(c)|<\frac{\varepsilon}{3}\), (tout découle de la continuité de \(f\) sur cet intervalle).
Soit \(n\geq N\) on a alors : \(|f(b_{n+1})-f(b_n)|\leq|f(b_{n+1})-f(c)|+|f(c)-f(b_n)|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon\) ce qui est absurde au vu de la défintion de \(b_{n+1}\). En effet puisqu'ici on se place sur \(]a_{i-1},c[\) alors tous les éléments de \((b_k)_{k\geq N}\) sont sur un intervalle où \(f\) est continue et donc regarder la fonction \(g\) définie dans la récurrence sur un intervalle ouvert ou fermé à gauche revient au même, ce qui donne le résultat.
- \(\textit{Si \(c\) est un point de la subdivision \((a_i)\) : }\)
Le même raisonnement que précédemment en échangeant le rôle de \(f(c)\) avec \(l=\lim\limits_{x\to c^-}f(x)\) donne la même absurdité.
Donc finalement \((b_i)\) est finie.
Enfin il reste à poser \( \varphi : [a,b]\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\varphi_{i}\chi_{[b_i,b_{i+1}]}(x)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) et on a bien : \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
(On dénfinit la fonction indicatrice \(\chi_A\) commé étant la fonction valant \(1\) pour \(x\in A\) et \(0\) sinon).

Demo 2..1 :

D'après la Proposition 2.1 il existe \(\phi\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) tel que \(||f-\phi||_{\infty}\leq\frac{\varepsilon}{2}\).
On pose alors \(\varphi=\phi-\frac{\varepsilon}{2}\text{ et }\psi=\phi+\frac{\varepsilon}{2}\) et ces fonctions vérifient les conditions de l'énoncé.

Demo 2..2 :

Soit \(f\in\mathcal{C}_pm^0([a,b],\mathbb{R})\) et soit \(n\in\mathbb{N}^*\), il existe \(\varphi_n\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) tel que : \(||f-\varphi_n||_{\infty}\leq\frac{1}{n}\).
On construit ainsi une suite de fonctions en escaliers qui converge uniformément vers \(f\) ce qui achève la preuve.

Demo 2.2

Soit \(\varepsilon>0\), d'après le Corollaire 2.1 il existe \((\varphi,\psi)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) tel que \(\varphi\leq f\leq\psi\text{ et } ||\varphi-\psi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
On a alors : \(I^+-\varepsilon(b-a)\leq\int_{[a,b]}\psi-\varepsilon(b-a)=\int_{[a,b]}(\psi-\varepsilon)\underbrace{\leq}_{\text{car }\psi-\varepsilon\leq\varphi}\int_{[a,b]}\varphi\leq I^-\).
De plus comme \(I^-\leq I^+\) alors on a :
\(|I^+-I^-|=I^+-I^-\leq\varepsilon(b-a)\) ce qui donne le résultat en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\).

Demo 2...1:

On a : \(g-\varepsilon\leq f\leq g+\varepsilon\) et donc \(\int_{[a,b]}(g-\varepsilon)\leq I^- \text{ et }\int_{[a,b]}(g+\varepsilon)\geq I^+\)
On a alors : \(\int_{[a,b]}g-\varepsilon(b-a)=\int_{[a,b]}(g-\varepsilon)\leq I^-=\int_{[a,b]}f=I^+\leq\int_{[a,b]}(g+\varepsilon)=\int_{[a,b]}g+\varepsilon(b-a)\)
Donc on a bien : \(|\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}g|\leq\varepsilon(b-a)\).

Demo 2.3

Soit \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que : \(\forall n\geq N, ||f-f_n||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Soit alors \(n\geq N\) on a d'après le Lemme 2.1 : \(|\int_{[a,b]}f_n-\int_{[a,b]}f_n|\leq\varepsilon(b-a)\)
Ainsi en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\) on obtient le résultat.

Demo 2.4

\(\bullet\) Soit \(\varepsilon>0\) il existe d'après la Proposition 2.1 \((\varphi,\psi)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) tel que \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\text{ et } ||g-\psi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Ainsi on a : \(||(\lambda f+g)-(\lambda\varphi+\psi)||_{\infty}\underbrace{\leq}_{\text{on a admis le fait que \(||.||_{\infty}\) était une norme}}||\lambda f-\varphi||_{\infty}+||g-\psi||_{\infty}\leq2\varepsilon\).

On a donc d'après le Lemme 2.1 : \(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-\int_{[a,b]}(\lambda\varphi+\psi)|\leq2\varepsilon(b-a)\).
Enfin on a alors :
\(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-(\int_{[a,b]}\lambda f+\int_{[a,b]}g)|\leq|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-\int_{[a,b]}(\lambda\varphi+\psi)|+|\int_{[a,b]}(\lambda\varphi+\psi)-(\int_{[a,b]}\lambda f + \int_{[a,b]}g)|\)
Donc :
 \(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-(\int_{[a,b]}\lambda f+\int_{[a,b]}g)|\leq2\varepsilon(b-a)+\underbrace{|\lambda\int_{[a,b]}f-\lambda\int_{[a,b]}\varphi|}_{\int_{[a,b]}\lambda\varphi=\lambda\int_{[a,b]}\varphi}+\underbrace{|\int_{[a,b]}g-\int_{[a,b]}\psi|}_{\leq2\varepsilon(b-a)}\)

Et donc puisque \(|\lambda\int_{[a,b]}f-\lambda\int_{[a,b]}\varphi|=|\lambda||\int_{[a,b]}-\int_{[a,b]}\varphi|\leq2\varepsilon|\lambda|(b-a)\) on a alors :

\(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-(\int_{[a,b]}\lambda f+\int_{[a,b]}g)|\leq2\varepsilon(2+|\lambda|)(b-a)\)
On en déduit donc le résultat en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\).
\(\bullet\) \(f\) est supérieure ou égale à la fonction en escalier nulle donc par défnition \(I^-\geq0\) et donc \(\int_{[a,b]}f\geq0\).
\(\bullet\) On applique les deux points précédents à la fonction continue par morceaux \(g-f\) qui est positive.

Demo 2.5 :

Il suffit d'appliquer le 3e point de la Proposition 2.4 où l'on considère \(m\text{ et }M\) comme étant deux fonctions continues par morceaux.
Enfin comme \(\int_{[a,b]}m=m(b-a)\text{ et }\int_{[a,b]}M=M(b-a)\) on en déduit le résultat.

Demo 2.6 :

On a \(-||f||_{\infty}\leq f\leq||f||_{\infty}\) ce qui donne d'après la Proposition 2.5 : \(|\int_{[a,b]}f|\leq||f||_{\infty}(b-a)\)
On a également \(-|f|\leq f\leq|f|\) ce qui donne d'après le dernier point de la Proposition 2.4 (car \(|f|\) est encore une fonction continue par morceaux) : \(|\int_{[a,b]}f|\leq\int_{[a,b]}|f|\)

Demo 2.7 :

Soit \(\varepsilon>0\), d'après la Proposition 2.1 il existe \(\varphi\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) tel que \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
On a alors d'après la Relation de Chasles pour les fonctions en esclalier :
\(|\int_{[a,b]}f-(\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f)|\leq|\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}\varphi|+|\int_{[a,c]}f-\int_{[a,c]}\varphi|+|\int_{[c,b]}f-\int_{[c,b]}\varphi|\)
Ainsi on a donc :
\(|\int_{[a,b]}f-(\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f)|\leq\varepsilon(b-a)+\varepsilon(c-a)+\varepsilon(b-c)=2\varepsilon(b-a)\)
Donc en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\) on obtient le résultat.

Demo 2.8 :

On procède par l'absurde et quitte à considérer \(-f\) on suppose \(f\geq0\).
Si \(f\ne0\) alors il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)>0\).
Puis par continuité de \(f\) il existe un voisinage \([\alpha,\beta]\) de \(c\) tel que \(f>0\) sur \(I=[\alpha,\beta]\cap[a,b]\).
Sur \(I, f\) est continue donc aatteint ses bornes et notamment admet un minimum. On note \(m\) ce minimum.
Définissons alors la fonction en escalier suivante : \(h : [a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, x\mapsto m\chi_I\) où \(\chi_I\) renvoie \(1\) si \(x\in I\) et \(0\) sinon.
Ainsi il est clair que l'on a : \(0< h\leq f\) sur \(I\) et donc \(0<\int_Ih\leq\int_If\underbrace{\leq}_{\text{car }f\geq0\text{ et }I\subset[a,b]}\int_{[a,b]}f\).
Ainsi \(\int_{[a,b]}f\ne0\) ce qui est absurde.
Donc \(f=0\).