Porposition 1.1
Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}) \).
Il existe une unique subdivision de \([a,b]\) adaptée à \(f\) et plus grossière que toutes les subdivisons adaptées à \(f\) : celle contenant les points de discontinuités de \(f\) ainsi que les extrémités.
Demo 1.1
Soient \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\text{ et }(b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) deux subdivisons adaptées à \(f\) qui sont toutes les deux plus grossière que toute autre subdivision adaptée à \(f\).
Par définition \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) est plus grossière que \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) et inversement.
Donc \(n=p\text{ et : }\forall i\in[\![0,n]\!], a_i=b_i\).
On a donc bien l'unicité annoncée.
Pour l'existence il suffit de remarquer que la subdivion qui comporte tous les points de discontinuitées de \(f\) ainsi que les bornes de l'intervalle vérifie les conditions de la propriété.