Demo 1.2

Notons \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) l'unique subdivions adaptée de \(f\) la plus grossière de toutes les autres subdivisions adaptées de \(f\).
Par définition on a : \(\{b_i|i\in[\![0,p]\!]\}\subset\{a_i|i\in[\![0,n]\!]\}\).
On définit une suite strictement croissante \((k_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) d'entiers telle que : \(\forall i\in[\![0,p]\!], b_i=a_{k_i}\) de sorte que : \([b_i,b_{i+1}]=[a_{k_i},a_{k_{i+1}}]=\cup_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}[a_{k_i+j},a_{k_i+j+1}]\text{ \color{red}{(*)} }\)
Ainsi, par définition de \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) on sait que sur chaque intervalle \(]b_i,b_{i+1}[, f\) est constante donc finalement on a :

\(\int_{[a,b]f}=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}(b_{i+1}-b_i)f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\underbrace{\left(\displaystyle\sum_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}(a_{k_i+j+1}-a_{k_i+j})\right)}_{=b_{i+1}-b_i}f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\displaystyle\sum_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}(a_{k_i+j+1}-a_{k_i+j})\underbrace{f(\frac{a_{k_i+j+1}+a_{k_i+j}}{2})}_{=f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})\text{ par \color{red}{(*)}}}\)
Donc :
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}(b_{i+1}-b_i)f(\frac{b_{i+1}+b_i}{2})=\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\displaystyle\sum_{j=0}^{k_{i+1}-k_i-1}(a_{k_i+j+1}-a_{k_i+j})f(c_{k_i+j+1})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})f(c_i), \text{ car : }[\![0,n]\!]=\cup_{i=0}^{p-1}[\![k_i,k_{i+1}]\!]\)
Donc finalement \(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})f(c_i)\).