Demo 1.3 :

\(\bullet\) Notons \((a_k)_{k\in[\![0,n]\!]}\) l'unique subdivion adaptée à \(f\) plus grossière que toute autre subdivion adaptée à \(f\). Notons de même \((b_i)_{i\in[\![0,p]\!]}\) pour \(g\).
Alors en rangeant par ordre croissant ces deux suites et en enlevant les doublons (par exemple \(b_0\text{ et }b_p\)), on obtient une subdivision adaptée à \(f\text{ et }g\) donc a \(\lambda f+g\).
On note \((c_i)_{i\in[\![0,q]\!]}\) cette nouvelle subdivison.
On a ainsi : \(\int_{[a,b]}\lambda f+g=\displaystyle\sum_{i=1}^{q}(c_i-c_{i-1})(\lambda f+g)(\alpha_i)=\lambda\displaystyle\sum_{i=1}^{q}(c_i-c_{i-1})f(\alpha_i)+\displaystyle\sum_{i=1}^{q}(c_i-c_{i-1})g(\alpha_i)=\lambda\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g\).
\(\bullet\) On considère \((a_k)_{k\in[\![0,n]\!]}\text{ et } (c_i)_{i\in[\![1,n]\!]}\) définis comme à la Proposition 1.2. On a alors :
\(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\underbrace{(a_i-a_{i-1})}_{\geq0}\underbrace{f(c_i)}_{\geq0}\implies\int_{[a,b]}f\geq0\).
\(\bullet\) Il suffit d'appliquer les deux points précédents à \(g-f\) qui est positive.