Demo 1.4 :

On considère \((a_k)_{k\in[\![0,n]\!]}\text{ et } (c_i)_{i\in[\![1,n]\!]}\) définis comme à la Proposition 1.2. On considère alors \(i\in[\![1,n]\!]\text{ tel que }c\in[a_{i-1},a_i]\).
On a alors : \(\int_{[a,b]}f=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(a_j-a_{j-1})f(c_j)=\underbrace{\displaystyle\sum_{j=1}^{i-1}(a_j-a_{j-1})f(c_j)+(c-a_{i-1})f(\frac{c+a_{i-1}}{2})}_{=\int_{[a,c]}f}+\underbrace{(a_i-c)f(\frac{a_i+c}{2})+\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}(a_j-a_{j-1})f(c_j)}_{=\int{[c,b]}f}\).