Demo 2.1 :

On donne deux types de démonstration :
- Une qui nécessite le Théorème de Heine
- Une qui ne l'utilise pas

On va donner la preuve sans l'utilisation du Théorème de Heine car elle donne l'idée d'approche à avoir pour implémenter la modélisation de cette propiété.
On va alors construire par récurrence notre fonction en escalier et pour cela on va devoir définir une seconde subdivision de \([a,b]\).
On note \((a_i)_{i\in[\![0,n]\!]}\) l'unique subdivision adaptée à \(f\) et plus grossière que toutes les subdivisions adaptées.

\(\textbf{Initailisation : }\) On pose \(b_0=a_0\) et \(\varphi_0=\lim\limits_{x\to a_0^+}f(x)\).
On considère ensuite \(g : ]a_0,a_1[\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto\varepsilon-|f(x)-\varphi_0|\) qui est coninue.
Au voisinage droite de \(a_0, g\) est strictement positive :
- Si sur \(]a_0,a_1[, g\) est strictement positive alors on pose \(b_1=a_1\).
- Sinon on pose \(b_1=\min\{g^{-1}(0)\}\) où ce min existe bien par continuité de \(g\).

\(\textbf{Hérédité : }\) Supposons avoir construit \((b_i)_{i\in[\![0,k]\!]}\text{ et } (\varphi_i)_{i\in[\![0,k-1]\!]}\).
Si \(b_k=a_n\) dans ce cas il n'y a plus rien à faire.
Sinon on sait qu'il existe \(i\in[\![0,n-1]\!]\) tel que : \(b_k\in[a_i,a_{i+1}[\).
Posons alors \(\varphi_k=\lim\limits_{x \to b_k^+}f(x)\) et \(g : ]b_k,a_{i+1}[\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto \varepsilon-|f(x)-\varphi_k|\) qui est continue.
Au voisinage droite de \(b_k\) on a \(g>0\) :
- Si sur \(]b_k,a_{i+1}[, g\) est strictement positive alors on pose \(b_{k+1}=a_{i+1}\)
- Sinon on pose \(b_{k+1}=\min\{g^{-1}(0)\}\)
Ainsi on achève la récurrence mais encore faut-il s'assurer que la suite \((b_i)\) soit finie pour qu'on puisse parler de subdivision de \([a,b]\) (si elle est finie alors en noatnt \(p\) le nombre d'éléments qui la compose on a directement \(b_p=a_n\) par construction).

Supposons par l'absurde que la suite \((b_i)\) ne soit pas finie et donc pour tout \(i\in\mathbb{N}, b_i\ne a_n\), la suite \((b_i)\) étant strictement croissante et bornée on sait qu'elle admet une limite \(c\in]a,b]\). On va alors montrer que ce \(c\) ne peut exister.
- \(\textit{Si \(c\) n'est pas un point de la subdivision \((a_i)\) : }\)
Il existe alors \(i\in[\![1,n]\!]\) tel que \(c\in]a_{i-1},a_i[\) ainsi que \(N\in\mathbb{N}\) tel que : \(\forall n\geq N,b_n\in]a_{i-1},c[\text{ et }|f(b_n)-f(c)|<\frac{\varepsilon}{3}\), (tout découle de la continuité de \(f\) sur cet intervalle).
Soit \(n\geq N\) on a alors : \(|f(b_{n+1})-f(b_n)|\leq|f(b_{n+1})-f(c)|+|f(c)-f(b_n)|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon\) ce qui est absurde au vu de la défintion de \(b_{n+1}\). En effet puisqu'ici on se place sur \(]a_{i-1},c[\) alors tous les éléments de \((b_k)_{k\geq N}\) sont sur un intervalle où \(f\) est continue et donc regarder la fonction \(g\) définie dans la récurrence sur un intervalle ouvert ou fermé à gauche revient au même, ce qui donne le résultat.
- \(\textit{Si \(c\) est un point de la subdivision \((a_i)\) : }\)
Le même raisonnement que précédemment en échangeant le rôle de \(f(c)\) avec \(l=\lim\limits_{x\to c^-}f(x)\) donne la même absurdité.
Donc finalement \((b_i)\) est finie.
Enfin il reste à poser \( \varphi : [a,b]\longrightarrow\mathbb{R},x\mapsto\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}\varphi_{i}\chi_{[b_i,b_{i+1}]}(x)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) et on a bien : \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
(On dénfinit la fonction indicatrice \(\chi_A\) commé étant la fonction valant \(1\) pour \(x\in A\) et \(0\) sinon).