Demo 2.2

Soit \(\varepsilon>0\), d'après le Corollaire 2.1 il existe \((\varphi,\psi)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) tel que \(\varphi\leq f\leq\psi\text{ et } ||\varphi-\psi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
On a alors : \(I^+-\varepsilon(b-a)\leq\int_{[a,b]}\psi-\varepsilon(b-a)=\int_{[a,b]}(\psi-\varepsilon)\underbrace{\leq}_{\text{car }\psi-\varepsilon\leq\varphi}\int_{[a,b]}\varphi\leq I^-\).
De plus comme \(I^-\leq I^+\) alors on a :
\(|I^+-I^-|=I^+-I^-\leq\varepsilon(b-a)\) ce qui donne le résultat en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\).