Proposition 2.3
Sous ces notations et si \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers \(f\) , alors \(\lim\limits_{n \to \infty}\int_{[a,b]}f_n=\int_{[a,b]}f\).
Demo 2.3
Soit \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que : \(\forall n\geq N, ||f-f_n||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Soit alors \(n\geq N\) on a d'après le Lemme 2.1 : \(|\int_{[a,b]}f_n-\int_{[a,b]}f_n|\leq\varepsilon(b-a)\)
Ainsi en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\) on obtient le résultat.