Demo 2.4

\(\bullet\) Soit \(\varepsilon>0\) il existe d'après la Proposition 2.1 \((\varphi,\psi)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) tel que \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\text{ et } ||g-\psi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Ainsi on a : \(||(\lambda f+g)-(\lambda\varphi+\psi)||_{\infty}\underbrace{\leq}_{\text{on a admis le fait que \(||.||_{\infty}\) était une norme}}||\lambda f-\varphi||_{\infty}+||g-\psi||_{\infty}\leq2\varepsilon\).

On a donc d'après le Lemme 2.1 : \(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-\int_{[a,b]}(\lambda\varphi+\psi)|\leq2\varepsilon(b-a)\).
Enfin on a alors :
\(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-(\int_{[a,b]}\lambda f+\int_{[a,b]}g)|\leq|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-\int_{[a,b]}(\lambda\varphi+\psi)|+|\int_{[a,b]}(\lambda\varphi+\psi)-(\int_{[a,b]}\lambda f + \int_{[a,b]}g)|\)
Donc :
 \(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-(\int_{[a,b]}\lambda f+\int_{[a,b]}g)|\leq2\varepsilon(b-a)+\underbrace{|\lambda\int_{[a,b]}f-\lambda\int_{[a,b]}\varphi|}_{\int_{[a,b]}\lambda\varphi=\lambda\int_{[a,b]}\varphi}+\underbrace{|\int_{[a,b]}g-\int_{[a,b]}\psi|}_{\leq2\varepsilon(b-a)}\)

Et donc puisque \(|\lambda\int_{[a,b]}f-\lambda\int_{[a,b]}\varphi|=|\lambda||\int_{[a,b]}-\int_{[a,b]}\varphi|\leq2\varepsilon|\lambda|(b-a)\) on a alors :

\(|\int_{[a,b]}(\lambda f+g)-(\int_{[a,b]}\lambda f+\int_{[a,b]}g)|\leq2\varepsilon(2+|\lambda|)(b-a)\)
On en déduit donc le résultat en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\).
\(\bullet\) \(f\) est supérieure ou égale à la fonction en escalier nulle donc par défnition \(I^-\geq0\) et donc \(\int_{[a,b]}f\geq0\).
\(\bullet\) On applique les deux points précédents à la fonction continue par morceaux \(g-f\) qui est positive.