Proposition 2.5 :
Soit \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\). Soient \((m,M)\in\mathbb{R}^2\).
On a : \(m\leq f\leq M\implies(b-a)m\leq\int_{[a,b]}f\leq(b-a)M\).
Demo 2.5 :
Il suffit d'appliquer le 3e point de la Proposition 2.4 où l'on considère \(m\text{ et }M\) comme étant deux fonctions continues par morceaux.
Enfin comme \(\int_{[a,b]}m=m(b-a)\text{ et }\int_{[a,b]}M=M(b-a)\) on en déduit le résultat.