Proposition 2.7 : (Relation de Chasles)
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R}) \text{ et } c\in]a,b[\).
On a : \(\int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f\).
Demo 2.7 :
Soit \(\varepsilon>0\), d'après la Proposition 2.1 il existe \(\varphi\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) tel que \(||f-\varphi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
On a alors d'après la Relation de Chasles pour les fonctions en esclalier :
\(|\int_{[a,b]}f-(\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f)|\leq|\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}\varphi|+|\int_{[a,c]}f-\int_{[a,c]}\varphi|+|\int_{[c,b]}f-\int_{[c,b]}\varphi|\)
Ainsi on a donc :
\(|\int_{[a,b]}f-(\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f)|\leq\varepsilon(b-a)+\varepsilon(c-a)+\varepsilon(b-c)=2\varepsilon(b-a)\)
Donc en faisant tendre \(\varepsilon\) vers \(0\) on obtient le résultat.