Demo 2.8 :

On procède par l'absurde et quitte à considérer \(-f\) on suppose \(f\geq0\).
Si \(f\ne0\) alors il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)>0\).
Puis par continuité de \(f\) il existe un voisinage \([\alpha,\beta]\) de \(c\) tel que \(f>0\) sur \(I=[\alpha,\beta]\cap[a,b]\).
Sur \(I, f\) est continue donc aatteint ses bornes et notamment admet un minimum. On note \(m\) ce minimum.
Définissons alors la fonction en escalier suivante : \(h : [a,b]\longrightarrow \mathbb{R}, x\mapsto m\chi_I\) où \(\chi_I\) renvoie \(1\) si \(x\in I\) et \(0\) sinon.
Ainsi il est clair que l'on a : \(0< h\leq f\) sur \(I\) et donc \(0<\int_Ih\leq\int_If\underbrace{\leq}_{\text{car }f\geq0\text{ et }I\subset[a,b]}\int_{[a,b]}f\).
Ainsi \(\int_{[a,b]}f\ne0\) ce qui est absurde.
Donc \(f=0\).