Corollaire 2..1 :
Soient \(f\in\mathcal{C}_{pm}^0([a,b],\mathbb{R})\) et \(\varepsilon>0\).
Il existe \((\varphi,\psi)\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})^2\) tel que : \(\varphi\leq f\leq\psi\) et \(||\varphi-\psi||_{\infty}\leq\varepsilon\).
Demo 2..1 :
D'après la Proposition 2.1 il existe \(\phi\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) tel que \(||f-\phi||_{\infty}\leq\frac{\varepsilon}{2}\).
On pose alors \(\varphi=\phi-\frac{\varepsilon}{2}\text{ et }\psi=\phi+\frac{\varepsilon}{2}\) et ces fonctions vérifient les conditions de l'énoncé.