Demo 2..2 :

Soit \(f\in\mathcal{C}_pm^0([a,b],\mathbb{R})\) et soit \(n\in\mathbb{N}^*\), il existe \(\varphi_n\in\mathcal{Esc}([a,b],\mathbb{R})\) tel que : \(||f-\varphi_n||_{\infty}\leq\frac{1}{n}\).
On construit ainsi une suite de fonctions en escaliers qui converge uniformément vers \(f\) ce qui achève la preuve.